Question

已知向量a=(sinx•

3

)，b=(cosx•si

n

2

x-

1

2

)，函數(shù)f（x）=a•b．
（1）求f（x）單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)f（x）圖象按向量c=（m，0），得到函數(shù)y=g（x）的圖象，且g（x）為偶函數(shù)，求正實(shí)數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意可將f（x）=

a

•

b

化為：f（x）=sin（2x-

π

3

），從而利用正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)即可求得f（x）單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由題意可求得g（x）=f（x-m）=sin（2x-2m-

π

3

），再結(jié)合g（x）為偶函數(shù)，可得到，-2m-

π

3

=kπ+

π

2

，（k∈Z），于是可得正實(shí)數(shù)m的最小值．

解答：解：（1）∵

a

=（sinx，

3

），

b

=（cosx，sin²x-

1

2

），
∴f（x）=

a

•

b

=sinxcosx+

3

（sin²x-

1

2

）
=

1

2

sin2x+

3

×

1-cos2x

2

-

3

2

=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x
=sin（2x-

π

3

）．
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得：kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，（k∈Z）
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z．
（2）f（x）圖象按向量

c

=（m，0），得到函數(shù)y=g（x）的圖象，
則：g（x）=f（x-m）=sin[2（x-m）-

π

3

]=sin（2x-2m-

π

3

），
∵g（x）為偶函數(shù)，
∴-2m-

π

3

=kπ+

π

2

，（k∈Z）
∴當(dāng)k=-1時，m最�。甿_min=

π

12

．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，著重考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的平移及函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題．