Question

1．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是等腰直角三角形，且斜邊$AB=\sqrt{2}$，側(cè)棱AA₁=2，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AA₁上，AE=λAA₁（λ為實(shí)數(shù)）．
（1）求證：不論λ取何值時(shí)，恒有CD⊥B₁E；
（2）當(dāng)$λ=\frac{1}{3}$時(shí)，記四面體C₁-BEC的體積為V₁，四面體D-BEC的體積為V₂，求V₁：V₂．

Answer 1

分析 （1）證明CD⊥AB，AA₁⊥CD，然后證明CD⊥平面ABB₁A₁，推出CD⊥B₁E．
（2）利用等體積法，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 （1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
∴CD⊥AB．…（2分）
∵AA₁⊥平面ABC，CD?平面ABC，∴AA₁⊥CD．…（4分）
又∵AA₁?平面ABB₁A₁，AB?平面ABB₁A₁，AA₁∩AB=A，∴CD⊥平面ABB₁A₁．…（5分）
又∵B₁E?平面ABB₁A₁，∴CD⊥B₁E．…（6分）
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，且斜邊$AB=\sqrt{2}$，∴AC=BC=1.${V_1}={V_{{C_1}-CBE}}={V_{E-{C_1}BC}}=\frac{1}{3}AC•{S_{△{C_1}BC}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×2=\frac{1}{3}$，…（8分）${V_2}={V_{D-BEC}}={V_{E-CDB}}=\frac{1}{3}AE•{S_{△DBC}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{2}{3}=\frac{1}{18}$，…（11分）
所以V₁：V₂=6…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定定理以及的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．