Question

過(guò)橢圓

x2

3

+

y2

2

=1的右焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N．
（1）證明：直線MN必過(guò)定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)；
（2）若弦AB，CD的斜率均存在，求△FMN的面積S的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由題意知F（1，0），當(dāng)弦AB，CD的斜率均存在時(shí)，設(shè)AB：y=k（x-1），代入橢圓

x2

3

+

y2

2

=1，
得（3k²+2）x²-6k²x+（3k²-6）=0，由韋達(dá)定理得M（

3k2

3k2+2

，

-2k

3k2+2

），將點(diǎn)M中的k換成-

1

k

，得到點(diǎn)N（

3

2k2+3

，

2k

2k2+3

），由此得直線MN過(guò)定點(diǎn)（

3

5

，0）；當(dāng)弦AB或弦CD的斜率不存在時(shí)，直線MN為x軸，過(guò)點(diǎn)（

3

5

，0），由此能證明直線MN必過(guò)定點(diǎn)E（

3

5

，0）．
（2）由（1）知S△FMN=

1

2

|EF|•|yM-yN|=

|2k(k21)|

(3k2+2)(2k2+3)

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出△FMN的面積的最大值為

4

25

．

解答： （1）證明：由題意知F（1，0），
①當(dāng)弦AB，CD的斜率均存在時(shí)，設(shè)AB的斜率為k，則CD的斜率為-

1

k

，
設(shè)AB：y=k（x-1），代入橢圓

x2

3

+

y2

2

=1，
得（3k²+2）x²-6k²x+（3k²-6）=0，
∴xM=

xA+xB

2

=

3k2

3k2+2

，y_M=k（x_M-1）=

-2k

3k2+2

，
∴M（

3k2

3k2+2

，

-2k

3k2+2

），
將點(diǎn)M中的k換成-

1

k

，得到點(diǎn)N（

3

2k2+3

，

2k

2k2+3

），
（i）當(dāng)k≠±1時(shí)，kMN=

2k 2k2+3 + 2k 3k2+2

3-3k2

=

10k(k2+1)

6-6k4

=

-5k

3k2-3

，
此時(shí)直線MN的方程為y=

2k

2k2+3

=

-5k

3k2-3

（x-

3

2k2+3

），
則直線MN過(guò)定點(diǎn)（

3

5

，0）；
（ii）當(dāng)k=±1時(shí)，直線MN的方程為x=

3

5

，過(guò)點(diǎn)（

3

5

，0）．
②當(dāng)弦AB或弦CD的斜率不存在時(shí)，直線MN為x軸，過(guò)點(diǎn)（

3

5

，0），
綜上知直線MN必過(guò)定點(diǎn)E（

3

5

，0）．
（2）由（1）知S△FMN=

1

2

|EF|•|yM-yN|
=

1

5

|

-2k

3k2+2

-

2k

2k2+3

|
=

|2k(k21)|

(3k2+2)(2k2+3)

，
設(shè)k＞0，則S′=

-12k6-10k4+10k2+12

(3k2+2)2(2k2+3)2

=

(-12k4+2k2-12)(k2-1)

(3k2+2)2(2k2+3)2

，
∴由S′=0，得k=1，又k∈（0，1）時(shí)，S′＞0，k∈（1，+∞）時(shí)，S′＜0，
∴當(dāng)k=1時(shí)，S有最大值

4

25

，
∴△FMN的面積的最大值為

4

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線過(guò)定點(diǎn)的證明，考查定點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時(shí)要注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．