Question

12．已知△ABC的頂點(diǎn)A（2，4），∠ABC的角平分線BM所在的直線方程為y=0，AC邊上的高BH所在的直線方程為2x+3y+12=0．
（1）求AC所在的直線方程；
（2）求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂直的兩條直線斜率的關(guān)系，算出AC的斜率k_AC，由直線方程的點(diǎn)斜式可得直線AC方程；
（2）求出AB所在直線方程，設(shè)出C的坐標(biāo)，求出C關(guān)于直線y=0的對(duì)稱點(diǎn)，由點(diǎn)在直線上列式求得C的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵AC邊上的高BH所在的直線方程為2x+3y+12=0，
${k}_{BH}=-\frac{2}{3}$，則AC所在直線的斜率為$\frac{3}{2}$，
∵A（2，4），
∴AC所在直線方程為y-4=$\frac{3}{2}（x-2）$，即3x-2y+2=0；
（2）∵∠ABC的角平分線所在的直線方程為y=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{2x+3y+12=0}\end{array}\right.$，解得B（-6，0）．
∴AB所在直線方程為$\frac{y-0}{4-0}=\frac{x+6}{2+6}$，即x-2y+6=0．
設(shè)C（m，n），則C關(guān)于y=0的對(duì)稱點(diǎn)為（m，-n），
則$\left\{\begin{array}{l}{3m-2n+2=0}\\{m+2n+6=0}\end{array}\right.$，解得m=-2，n=-2．
∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程的求法，訓(xùn)練了點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的求法，屬于中檔題．