Question

根據(jù)拋物線的光學(xué)原理：一水平光線射到拋物線上一點(diǎn)，經(jīng)拋物線反射后，反射光線必過(guò)焦點(diǎn)．然后求解此題：拋物線y²=4x上有兩個(gè)定點(diǎn)A、B分別在對(duì)稱軸的上、下兩側(cè)，一水平光線射到A點(diǎn)后，反射光線會(huì)平行y軸，一水平光線射到B點(diǎn)后，反射光線所在直線的斜率為 -

4

3

．
（Ⅰ）求直線AB的方程．
（Ⅱ）在拋物線AOB這段曲線上求一點(diǎn)P，使△PAB的面積最大，并求這個(gè)最大面積．

Answer 1

（1）由已知得焦點(diǎn)F（1，0），
且FA⊥x軸，
∴A （1，2），
同理kFB=-

4

3

，
得到B（4，-4），
所以直線AB的方程為2x+y-4=0．（6分）
（2）法一：設(shè)在拋物線AOB這段曲線上任一點(diǎn)P（x₀，y₀），
且1≤x₀≤4，-4≤y₀≤2．
則點(diǎn)P到直線AB的距離d=

|2x0+y0-4|

1+4

=

|2× y 20 4 +y0-4|

5

=

| 1 2 (y0+1)2- 9 2 |

5

，
所以當(dāng)y₀=-1時(shí)，d取最大值

9 5

10

，
又|AB|=3

5

（10分）
所以△PAB的面積最大值為S=

1

2

×3

5

×

9 5

10

=27，
此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(

1

4

，-1)．（12分）
法二：由

2x+y+m=0 y2=4x

?y2+2y+2m=0?△=4-8m=0?m=

1

2

，
∴dmax=

| 1 2 -(-4)|

5

=

9 5

10

，
∴△PAB的面積最大值為S=

1

2

×3

5

×

9 5

10

=27，
此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(

1

4

，-1)．