Question

已知命題p：方程（a+1）x²+（3-a）y²=1的曲線為橢圓；命題q：直線y=ax與曲線|y|=2

x2-1

（x≥1）有公共點．如果命題p∨q為真，p∧q為假，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：本題的關鍵是給出命題p：方程（a+1）x²+（3-a）y²=1的曲線為橢圓；命題q：直線y=ax與曲線|y|=2

x2-1

（x≥1）有公共點為真時a的取值范圍，在根據(jù)p、q一真一假給出a的取值范圍．

解答： 解：∵命題p：方程（a+1）x²+（3-a）y²=1的曲線為橢圓；
∴若p為真，

a+1＞0 3-a＞0 a+1≠3-a

即-1＜a＜3且a≠1
∵命題q：直線y=ax與曲線|y|=2

x2-1

（x≥1）有公共點
∴曲線|y|=2

x2-1

（x≥1）為雙曲線：x2-

y2

4

=1，其漸近線為y=2x，及y=-2x，
∴y=ax與其有交點則說明y=ax在兩條漸近線之間，即-2＜a＜2
∵如果命題p∨q為真，p∧q為假，
∴p、q一真一假，
綜上，a的取值范圍：2≤a＜3 或-2＜a≤-1

點評：本題考查的知識點是復合命題的真假判定，解決的辦法是先判斷組成復合命題的簡單命題的真假，再根據(jù)真值表進行判斷．