Question

已知P（x，y），A（-1，0），向量

.

PA

與

.

m

=（1，1）共線．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．
（2）是否在直線y=2x和直線y=3x上分別存在一點(diǎn)B、C，使得滿足∠BPC為銳角時(shí)x取值集合為{x|x＜-

7

 或x＞

7

}？若存在，求出這樣的B、C的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：平行向量與共線向量,一元二次不等式的解法

專題：綜合題,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由

.

PA

與

.

m

=（1，1）共線可得關(guān)于x，y的方程，整理可得結(jié)論；
（2）設(shè)B（b，2b），C（c，3c），由∠BPC為銳角可得

.

PB

•

.

PC

＞0，由向量數(shù)量積運(yùn)算及y=x+1可整理為關(guān)于x的不等式，由其解集及韋達(dá)定理可得b，c的方程組，解出即可．

解答： 解：（1）

.

PA

=（-1-x，-y），
∵向量

.

PA

與

.

m

=（1，1）共線，
∴-1-x-（-y）=0，即y=x+1；
（2）存在 B（2，4），C（-1，-3）或B(-

9

7

，-

18

7

)，C(

41

28

，

123

28

)，
設(shè)B（b，2b），C（c，3c），由∠BPC為銳角可得

.

PB

•

.

PC

＞0，
得（b-x，2b-y）•（c-x，3c-y）＞0，即（b-x）（c-x）+（2b-y）（3c-y）＞0，
又y=x+1，上式可整理為2x²+（2-3b-4c）x+1-2b-3c+7bc＞0，
∵其解集是{x|x＜-

7

或x＞

7

 }，
（2-3b-4c）=0，1-2b-3c+7bc=-14，
解得b=2，c=-1 或b=-

9

7

，c=

41

28

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量共線的條件、平面向量的數(shù)量積運(yùn)算及二次不等式的求解，考查方程思想，考查學(xué)生解決問題的能力．