Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-2

4+2b-b2

x，g（x）=-

1-(x-a)2

，（a，b∈R）
（Ⅰ）當(dāng)b=0時(shí)，若f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（Ⅱ）求滿足下列條件的所有實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）：當(dāng)a是整數(shù)時(shí)，存在x₀，使得f（x₀）是f（x）的最大值，g（x₀）是g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)b=0時(shí)，f（x）=ax²-4x，討論a的取值，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性建立a的不等關(guān)系即可；
（Ⅱ）討論a為0時(shí)不可能，要使f（x）有最大值，必須滿足

a＜0 4+2b-b2≥0

，求出此時(shí)的x=x₀，根據(jù)g（x）取最小值時(shí)，x=x₀=a，建立等量關(guān)系，結(jié)合a是整數(shù)，求出a和b的值．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)b=0時(shí)，f（x）=ax²-4x，
若a=0，f（x）=-4x，則f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞減，不符題意，
故a≠0，要使f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，必須滿足

a＞0 4 2a ≤2

，
∴a≥1．
（Ⅱ）若a=0，f(x)=-2

4+2b-b2

x，則f（x）無最大值，故a≠0，
∴f（x）為二次函數(shù)，
要使f（x）有最大值，必須滿足

a＜0 4+2b-b2≥0

，即a＜0且1-

5

≤b≤1+

5

，
此時(shí)，x=x0=

4+2b-b2

a

時(shí)，f（x）有最大值．
又g（x）取最小值時(shí)，x=x₀=a，
依題意，有

4+2b-b2

a

=a∈Z，
則a2=

4+2b-b2

=

5-(b-1)2

，
∵a＜0且1-

5

≤b≤1+

5

，
∴0＜a2≤

5

(a∈Z)，得a=-1，此時(shí)b=-1或b=3．
∴滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）是（-1，-1），（-1，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，以及函數(shù)的最值及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．