Question

已知P是直線3x+4y+12=0上的動(dòng)點(diǎn)，PA、PB是圓C：x²+y²-2x=0的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，C是圓心，求四邊形PACB面積的最小值．

Answer 1

分析：由P在直線3x+4y+12=0上，設(shè)出P坐標(biāo)，由圓方程找出圓心C坐標(biāo)及半徑r，根據(jù)題意得到四邊形PACB面積等于三角形PAC面積的2倍，得出|PC|最小時(shí)，四邊形PACB面積最小，利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出|PC|，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出|PC|的最小值，即可確定出四邊形PACB面積的最小值．

解答：解：∵點(diǎn)P在直線3x+4y+12=0上，
∴設(shè)P（x，-3-

3

4

x），
由圓C方程變形得：（x-1）²+y²=1，即C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
可得S_PACB=2S_PAC=|PA|•|AC|=|PA|，
∵|AP|²=|PC|²-|AC|²=|PC|²-1，
∴當(dāng)|PC|最小時(shí)，|AP|最小，四邊形PACB的面積最小，
∵|PC|²=（1-x）²+（3+

3

4

x）²=

25

16

（x+

4

5

）²+9，
∴|PC|²最小為9，
則S_PACB最小為2

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)題意得出“當(dāng)|PC|最小時(shí)，|AP|最小，四邊形PACB的面積最小”是解本題的關(guān)鍵．