Question

已知M是直線3x+4y+8=0上的動點，MA、MB是圓P：（x-1）²+（y-1）²=4的兩條切線，A、B為切點，P為圓心，求

PE

•

PF

的最大值

-

4

9

．

Answer 1

分析：由題意可得

PE

•

PF

=4cos∠EPF，當(dāng)∠EMF最大時，

PE

•

PF

的值最大．由于當(dāng)PM和直線3x+4y+8=0垂直時，∠EMF最大，此時，求得PM的值，即可求得cos∠PMF，利用二倍角
公式求得cos∠EPF 的值，從而求得

PE

•

PF

的值最大．

解答：解：由題意可得

PE

•

PF

=2×2×cos∠EPF=4cos∠EPF，圓心P（1，1），故要使

PE

•

PF

的值最大，只有∠EPF 最小．
再由四邊形MEPF中∠MEP=∠MFP=

π

2

可得四邊形MEPF是圓內(nèi)接四邊形，故∠EPF+∠EMF=π，故當(dāng)∠EMF最大時，

PE

•

PF

的值最大．
由于當(dāng)PM和直線3x+4y+8=0垂直時，∠EMF最大，此時，切線ME=MF，∠EPF=2∠MPF，PM等于圓心P到直線的距離

|3+4+8|

9+16

=3．
cos∠PMF=

PF

PM

=

2

3

，cos∠EPF=cos（2∠MPF）=2cos²∠MPF-1=

8

9

-1=-

1

9

，
故

PE

•

PF

的值最大為 4cos∠EPF=4×（-

1

9

）=-

4

9

，
故答案為-

4

9

．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，圓的切線性質(zhì)，二倍角公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．