Question

設(shè)函數(shù).

（1）若求的單調(diào)區(qū)間及的最小值；

（2）若,求的單調(diào)區(qū)間；

（3）試比較與的大小.其中,并證明你的結(jié)論.

 

Answer 1

（1）當(dāng)時,的增區(qū)間為,減區(qū)間為,；（2）當(dāng)時, 的遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是;當(dāng),的遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是；（3）由（1）可知,當(dāng)時,有即

=.

【解析】

試題分析：（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，解不等式和，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；

（2）先求出函數(shù)的定義域，然后求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，從導(dǎo)函數(shù)的二次項系數(shù)的正負(fù)；根據(jù)導(dǎo)函數(shù)根的大小，進(jìn)行分類討論；最后判斷出導(dǎo)函數(shù)的符號；利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號的關(guān)系求出單調(diào)性.

（3）將比較所給的兩個式子的大小關(guān)系，關(guān)鍵是要根據(jù)第（1）小問的結(jié)論適當(dāng)?shù)馁x特值，建立不等關(guān)系：

.然后根據(jù)該不等放縮求和即可得出兩者的大小關(guān)系.

試題解析：（1）

當(dāng)時, 在區(qū)間上是遞增的.

當(dāng)時, 在區(qū)間上是遞減的.

故當(dāng)時,的增區(qū)間為,減區(qū)間為,.

（2）若,當(dāng)時,

則在區(qū)間上是遞增的;

當(dāng)時,, 在區(qū)間上是遞減的.

若,當(dāng)時,

則在區(qū)間上是遞增的, 在區(qū)間上是遞減的;

當(dāng)時,, 在區(qū)間上是遞減的,而在處有意義; 則在區(qū)間上是遞增的,在區(qū)間上是遞減的.

綜上: 當(dāng)時, 的遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是;當(dāng),的遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是.

（3）由（1）可知,當(dāng)時,有即

=.

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.