Question

20．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，若在直線x=$\frac{{a}^{2}}{c}$（其中c²+b²=a²）上存在點P，使線段PF₁的垂直平分線經(jīng)過點F₂，則橢圓離心率的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• B． （0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]
• C． [$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）
• D． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）

Answer 1

分析 設(shè)點P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，m），則由中點公式可得線段PF₁的中點K的坐標(biāo)，根據(jù) 線段PF₁的斜率與 KF₂的斜率之積等于-1，求出m²的解析式，再利用m²≥0，得到3e⁴+2e²-1≥0，求得e的范圍，再結(jié)合橢圓離心率的范圍進(jìn)一步e 的范圍．

解答 解：由題意得  F₁（-c，0）），F(xiàn)₂ （c，0），
設(shè)點P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，m），
則由中點公式可得線段PF₁的中點K（$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{2c}$，$\frac{1}{2}$m ），
∴線段PF₁的斜率與 KF₂的斜率之積等于-1，
即$\frac{m-0}{\frac{{a}^{2}}{c}+c}$•$\frac{\frac{1}{2}m-0}{\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{2c}-c}$=-1，
∴m²=-（$\frac{{a}^{2}}{c}$+c）•（$\frac{{a}^{2}}{c}$-3c）≥0，
∴a⁴-2a²c²-3 c⁴≤0，
∴3e⁴+2e²-1≥0，∴e²≥$\frac{1}{3}$，或 e²≤-1（舍去），
∴e≥$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
又橢圓的離心力率  0＜e＜1，
故$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤e＜1，
故選C．

點評 本題考查線段的中點公式，兩直線垂直的性質(zhì)，以及橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．