Question

10．在直角坐標(biāo)系x0y中，以0為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為$ρcos（θ-\frac{π}{3}）=1$，M，N分別為C與x軸，y軸的交點(diǎn)．（0≤θ＜2π）
（1）寫出C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)線段MN的中點(diǎn)為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)C的極坐標(biāo)方程以及x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出C的普通方程即可；
（2）本題先根據(jù)曲線C的方程求出曲線C與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出中點(diǎn)P的坐標(biāo)，得到直線OP的極坐標(biāo)方程

解答 解：（1）C：可化為$\frac{1}{2}ρcosθ+\frac{{\sqrt{3}}}{2}ρsinθ=1$，
∴C的普通方程為直線：$x+\sqrt{3}y-2=0$；
（2）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{θ}{3}$）=1，
∴令θ=0，ρcos（-$\frac{π}{3}$）=1，ρ=2，M點(diǎn)的極坐標(biāo)為（2，0）；
令θ=$\frac{π}{2}$，ρcos（$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{3}$）=1，ρ=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，N點(diǎn)的極坐標(biāo)為（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{π}{2}$）．
∵$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)M、N的直角坐標(biāo)分別為（2，0），（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．
∴MN的中點(diǎn)P的三角坐標(biāo)為P（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
∴直線OP的斜率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，θ=$\frac{π}{6}$，
∴直線OP的極坐標(biāo)方程為θ=$\frac{π}{6}$，ρ∈（-∞，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查的是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化知識，先求出點(diǎn)的極坐標(biāo)，再化成直角坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得到中點(diǎn)的直角坐標(biāo)，再求出過原點(diǎn)的直線的傾斜角，得到直線的極坐標(biāo)方程．本題思維量不大，屬于基礎(chǔ)題．