Question

定義在R上的偶函數(shù)f（x），且對任意實數(shù)x都有f（x-2）=f（x），當x∈[0，1]時，f（x）=x²，若在區(qū)間[-1，3]內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-kx-k有4個零點，則實數(shù)k的取值范圍是

（0，

1

4

）

．

Answer 1

分析：由題意可得函數(shù)是周期等于2的函數(shù)，當x∈[0，1]時，f（x）=x²，可得當x∈[-1，0]時，f（x）=x²．再由函數(shù)g（x）=f（x）-kx-k有4個零點，可得函數(shù)
f（x）的圖象和直線y=kx+k=k（x+1）有4個交點，數(shù)形結(jié)合可得則實數(shù)k的取值范圍．

解答：解：由函數(shù)滿足對任意實數(shù)x都有f（x-2）=f（x），可得函數(shù)是周期等于2的函數(shù)．
再根據(jù)f（x）是偶函數(shù)，當x∈[0，1]時，f（x）=x²，可得當x∈[-1，0]時，f（x）=x²．
函數(shù)g（x）=f（x）-kx-k有4個零點，可得函數(shù)f（x）的圖象和直線y=kx+k=k（x+1）有4個交點，如圖所示：
則由題意可得，A（-1，0）、D（3，1），且 0＜k≤k_AD=

1

4

，
則實數(shù)k的取值范圍是（0，

1

4

）．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用，函數(shù)的零點和方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．