Question

17．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示，
（1）求由$\left\{\begin{array}{l}0≤x≤\frac{5π}{12}\\ 0≤y≤f（x）\end{array}$，確定的區(qū)域的面積；
（2）如何由函數(shù)y=sinx的圖象通過相應的平移與伸縮變換得到函數(shù)f（x）的圖象，寫出變換過程．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的圖象可求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，從而求得函數(shù)的解析式，再根據(jù)定積分的計算方法即可求出面積
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．

解答 解：（1）由圖象知A=1．f（x）的最小正周期$T=4×（\frac{5π}{12}-\frac{π}{6}）=π$，
故$ω=\frac{2π}{T}=2$，
將點$（\frac{π}{6}，1）$代入f（x）的解析式得$sin（\frac{π}{3}+φ）=1$，又$|φ|＜\frac{π}{2}$，∴$φ=\frac{π}{6}$．
故函數(shù)f（x）的解析式為$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$，
確定的區(qū)域的面積S=${∫}_{0}^{\frac{5π}{12}}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）dx=-$\frac{1}{2}$cos（2x+$\frac{π}{6}$）|${\;}_{0}^{\frac{5π}{12}}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$
（2）變換過程如下：y=sinx圖象上的$\frac{所有點的橫坐標縮小為原來的\frac{1}{2}倍}{縱坐標不變}$y=sin2x的圖象，
再把y=sin2x的圖象$\stackrel{向左平移\frac{π}{12}個單位}{→}$$y=sin（2x+\frac{π}{6}）$的圖象，
另解：y=sinx$\stackrel{圖象向左平移\frac{π}{6}個單位}{→}$$y=sin（x+\frac{π}{6}）$的圖象．
再把$y=sin（x+\frac{π}{6}）$的圖象$\frac{所有點的橫坐標縮小為原來的\frac{1}{2}倍}{縱坐標不變}$$y=sin（2x+\frac{π}{6}）$的圖象

點評 本題主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的圖象特征，由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．