Question

已知曲線C上任意一點P到兩個定點F₁（-

3

，0）和F2（

3

，0）的距離之和為4．
（1）求曲線C的方程；
（2）設過（0，-2）的直線l與曲線C交于A、B兩點，且

OA

•

.

OB

=0（O為坐標原點），求直線l的方程．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線的一般式方程,直線與圓錐曲線的關系

專題：向量與圓錐曲線,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意P滿足橢圓的定義，只要求出a，b，c即可；
（2）設出直線方程與橢圓方程構成方程組，消元得到一元二次方程，借助于根與系數(shù)的關系得到關于k的等式解k，得到直線方程．

解答： 解：（1）由題意得|F₁F₂|=2

3

＜4，所以點P在以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓上，由

2a=4 c= 3 a2=b2+c2

解得a=2，b=1，所以曲線C的方程為

x2

4

+y2=1…（5分）
（2）由題意得直線l的斜率存在，并設為k并設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l的方程為y=kx-2，由

x2 4 +y2=1 y=kx-2

 得
（4k²+1）x²-16kx+12=0
∵△=（16k）²-48（4k²+1）＞0得k²＞

3

4

，
x₁+x₂=

16k

4k2+1

，x₁x₂=

12

4k2+1

 …（8分）
又

OA

=(x1，y1)，

OB

=(x2，y2)而

OA

•

.

OB

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁-2）（kx₂-2）=0 …（10分）
∴（k²+1）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0，由此得

12(k2+1)

4k2+1

-

32k2

4k2+1

+4=0
解得k=±2，
所以直線l方程為y=2x-2或y=-2x-2…（12分）

點評：本題考查了橢圓標準方程的求法以及直線與橢圓的位置關系的運用，計算量較大，屬于中檔題．