Question

經(jīng)過點(diǎn)（3，0）的直線l與拋物線y=

x2

2

的兩個(gè)交點(diǎn)處的切線相互垂直，則直線l的斜率k等于（　　）

• A、-

  1

  6

• B、-

  1

  3

• C、

  1

  2

• D、-

  1

  2

Answer 1

分析：設(shè)出兩交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而對(duì)拋物線方程求導(dǎo)，進(jìn)而可得兩切點(diǎn)處切線斜率，根據(jù)切線相互垂直求得xy=1，根據(jù)（-x，

1

2

x²），（y，

1

2

y²），（3，0）三點(diǎn)共線，代入三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求得x，進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)式求得直線的斜率．

解答：解：設(shè)兩交點(diǎn)為（-x，

1

2

x²），（y，

1

2

y²）
則y=

x2

2

求導(dǎo)，得到兩點(diǎn)處切線斜率為：-x，y
因?yàn)榇怪保核�以xy=1
∴y=

1

x

．
因?yàn)椋?x，

1

2

x²），（y，

1

2

y²），（3，0）共線
所以：

x2 2

3+x

=

1 x 2

3- 1 x

解得x=

1

6

-

1

6

37

．
從而斜率為：

1 2 (  1 6 - 1 6 37 ) 2

3+ 1 6 - 1 6 37

=-

1

6

故選A

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．問題綜合性強(qiáng)，解析幾何的所有知識(shí)均涉及，還涉及函數(shù)、不等式等很多代數(shù)知識(shí)，
當(dāng)然還會(huì)用到平面幾何知識(shí)．故要求學(xué)生對(duì)基本知識(shí)要相當(dāng)熟悉．