Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，二面角B-A₁C₁-B₁的正切值為

 

．

Answer 1

分析：以D₁為原點，D₁A₁為X軸，D₁C₁為Y軸，D₁D為Z軸，建立D₁-XYZ空間直角坐標(biāo)系．求出平面角BA₁C₁與平面A₁C₁B₁的法向量，代入空間向量夾角公式，即可求出答案．

解答：解：用向量法解如下：
以D₁為原點，D₁A₁為X軸，D₁C₁為Y軸，D₁D為Z軸，建立D₁-XYZ空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)正方體的邊長為1，易知平面A₁C₁B₁的一個法向量為（0，0，1），
又可知A₁（1，0，0），B（1，1，1），C₁（0，1，0）
則向量

A1B

=（0，1，1），向量

C1B

=（1，0，1）
再設(shè)平面BA₁C₁的一個法向量為（X，Y，Z），
可解得可為（1，1，-1）
由兩法向量可得二面角B-A₁C₁-B₁的余弦值為

3

3

，
再由三角關(guān)系可得所求二面角B-A₁C₁-B₁的正切值是

2

．
故答案為：

2

．

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，其中建立空間坐標(biāo)系，將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．