Question

設(shè)a₁，a₂，a₃，a₄，a₅為自然數(shù)．A={a₁，a₂，a₃，a₄，a₅}，B={a₁²，a₂²，a₃²，a₄²，a₅²}，且a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，并滿足A∩B=﹛a₁，a₄﹜，a₁+a₂=10，A∪B中各元素之和為256．
（1）求a₁，a₄的值；
（2）求集合A．

Answer 1

考點：交集及其運算

專題：集合

分析：（1）由條件A∩B={a₁，a₄}，且五個自然數(shù)的大小關(guān)系，得出a₁=a₁²，求出a₁的值，再由a₁+a₄=10，求出a₄的值；
（2）根據(jù)a₄的值確定出a₂=3或a₃=3，分兩種情況考慮：①若a₃=3時，a₂=2，由A∪B中的所有元素之和為256，求出a₅的值，從而確定出集合A；
②若a₂=3時，表示出此時A和B，則得到a₃的范圍，根據(jù)a₃及a₅表示自然數(shù)，得到只有a₃=5時，a₅=11，進而確定出集合A，綜上，得到滿足題意的集合A．

解答： 解：（1）由A∩B={a₁，a₄}，且a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅ ，
得到只可能a₁=a₁²，即a₁=1，
又a₁+a₄=10，
∴a₄=9；
（2）∵a₄=9=a_i²（2≤i≤3），
∴a₂=3或a₃=3，
①若a₃=3時，a₂=2，此時A={1，2，3，9，a₅}，B={1，4，9，81，a₅²}，
∵a₅²≠a₅，∴1+2+3+9+4+a₅+81+a₅²=256，
整理得：a₅²+a₅-156=0，
解得：a₅=12，
∴A={1，2，3，9，12}；
②若a₂=3時，此時A={1，3，a₃，9，a₅}，B={1，9，a₃²，81，a₅²}，
∵1+3+9+a₃+a₅+81+a₃²+a₅²=256，
∴a₅²+a₅+a₃²+a₃-162=0，
又a₂＜a₃＜a₄，則3＜a₃＜9，
當(dāng)a₃=4、6、7、8時，a₅無整數(shù)解，
當(dāng)a₃=5時，a₅=11，
∴A={1，3，5，9，11}；
綜上，A={1，2，3，9，12}或{1，3，5，9，11}．

點評：此題考查了交集及其運算，利用了轉(zhuǎn)化及分類討論的數(shù)學(xué)思想，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．