Question

已知橢圓（a>b>0）的離心率e=，連接橢圓的四個頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A、B，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為

    （i）若，求直線l的傾斜角；

    （ii）若點(diǎn)Q在線段AB的垂直平分線上，且.求的值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）解：由e=，得.再由，解得a=2b.

由題意可知，即ab=2.解方程組得a=2，b=1，

所以橢圓的方程為..。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分

(Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2,0）.設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，直線l的斜率為k.則直線l的方程為y=k（x+2）.于是A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組消去y并整理，得

.

由，得.從而.

所以.

由，得.

整理得，即，解得k=.

所以直線l的傾斜角為或.。。。。。。。。。。。。。。。6分

（ii）解：設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，由（i）得到M的坐標(biāo)為.

以下分兩種情況：

（1）當(dāng)k=0時，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2,0），線段AB的垂直平分線為y軸，于是

由，得。

（2）當(dāng)時，線段AB的垂直平分線方程為。

令，解得。由，，

，整理得。故。所以。

綜上，或。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

【解析】略