Question

已知橢圓C:  (a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)都在圓上.

(I)求橢圓C的方程；

(II)若斜率為k的直線過(guò)點(diǎn)M(2,0),且與橢圓C相交于A, B兩點(diǎn).試探討k為何值時(shí),三角形OAB為直角三角形.

 

Answer 1

【答案】

(I)  (II)

【解析】

試題分析：(I)由已知可得b=c=1，再由a²=b²+c²，解出a即可.

(II)設(shè)A（x₁，y₁），B(x₂，y₂)，直線AB的方程為y=k（x-2），代入橢圓中，得到關(guān)于x的一元二次方程，由判別式求出k的取值范圍，和用k表示的x₁+x₂，x₁x₂的表達(dá)式，然后分以O(shè)或A或B為直角頂點(diǎn)，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件列出關(guān)于k的方程，求解即可.

試題解析：(Ⅰ)  ，所以橢圓方程為 

(Ⅱ)由已知直線AB的斜率存在,設(shè)AB的方程為: 

由    得 

,得:,即 

設(shè),   

(1)若為直角頂點(diǎn),則 ,即 ,

,所以上式可整理得,

,解,得,滿(mǎn)足 

 (2)若為直角頂點(diǎn),不妨設(shè)以為直角頂點(diǎn),,則滿(mǎn)足:

,解得,代入橢圓方程,整理得, 

解得,,滿(mǎn)足 

時(shí),三角形為直角三角形  

考點(diǎn)：1.橢圓方程及其性質(zhì)；2.直線與橢圓的相交的條件；3.向量垂直的充要條件.