Question

某創(chuàng)業(yè)投資公司計(jì)劃在2010年向某企業(yè)投入800萬元用于開發(fā)新產(chǎn)品，并在今后若干年內(nèi)，每年的投入資金都比上一年減少20%．估計(jì)2010年可獲得投資回報(bào)收入400萬元，由于該項(xiàng)投資前景廣闊，預(yù)計(jì)今后的投資回報(bào)收入每年都會(huì)比上一年增加25%．
（Ⅰ）設(shè)第n年（2010年為第一年）的投入資金為a_n萬元，投資回報(bào)收入為b_n萬元，求a_n和b_n的表達(dá)式；
（Ⅱ）從哪一年開始，該投資公司前幾年的投資回報(bào)總收入將超過總投入？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意可知年投入的資金依次成首項(xiàng)為800萬元，公比為

4

5

的等比數(shù)列，每年的投資回報(bào)收入依次成首項(xiàng)為400萬元，公比為

5

4

的等比數(shù)列．進(jìn)而利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得a_n和b_n．
（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過n年的總投入為S_n萬元，總收入為T_n萬元，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的求和公式分別求得S_n和T_n．進(jìn)而根據(jù)T_n-S_n＞0進(jìn)而可得5•(

4

5

)n+2•(

5

4

)n-7＞0求得n的范圍．

解答：解：（Ⅰ）據(jù)題意，每年投入的資金依次成首項(xiàng)為800萬元，公比為

4

5

的等比數(shù)列，每年的投資回報(bào)收入依次成首項(xiàng)為400萬元，公比為

5

4

的等比數(shù)列．
所以an=800•(

4

5

)n-1，bn=400•(

5

4

)n-1．
（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過n年的總投入為S_n萬元，總收入為T_n萬元，則Sn=

800[1-( 4 5 )n]

1- 4 5

=4000[1-(

4

5

)n]，Tn=

400[1-( 5 4 )n]

1- 5 4

=1600[(

5

4

)n-1]．
由T_n-S_n＞0，得1600((

5

4

)n-1)-4000(1-(

4

5

)n)＞0，即5•(

4

5

)n+2•(

5

4

)n-7＞0．
設(shè)x=(

4

5

)n，代入上式整理得，5x²-7x+2＞0，解得x＜

2

5

或x＞1（舍去）．
當(dāng)n=4時(shí)，(

4

5

)n=

256

625

＞

2

5

；當(dāng)n=5時(shí)，(

4

5

)n=

1024

3125

＜

2

5

．
因?yàn)?span id="0mp2x7b" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">y=(

4

5

)n是減函數(shù)，所以當(dāng)n≥5時(shí)，有(

4

5

)n＜

2

5

成立，從而T_n-S_n＞0成立．
答：從2014年開始，該投資公司前幾年的投資回報(bào)總收入將超過總投入．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，涉及了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和公式．綜合性很強(qiáng)．