Question

某創(chuàng)業(yè)投資公司計劃在2010年向某企業(yè)投入800萬元用于開發(fā)新產(chǎn)品，并在今后若干年內(nèi)，每年的投入資金都比上一年減少20%．估計2010年可獲得投資回報收入400萬元，由于該項投資前景廣闊，預(yù)計今后的投資回報收入每年都會比上一年增加25%．
（Ⅰ）設(shè)第n年（2010年為第一年）的投入資金為a_n萬元，投資回報收入為b_n萬元，求a_n和b_n的表達(dá)式；
（Ⅱ）從哪一年開始，該投資公司前幾年的投資回報總收入將超過總投入？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)題意可知年投入的資金依次成首項為800萬元，公比為的等比數(shù)列，每年的投資回報收入依次成首項為400萬元，公比為的等比數(shù)列．進(jìn)而利用等比數(shù)列的通項公式求得a_n和b_n．
（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過n年的總投入為S_n萬元，總收入為T_n萬元，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的求和公式分別求得S_n和T_n．進(jìn)而根據(jù)T_n-S_n＞0進(jìn)而可得求得n的范圍．
解答：解：（Ⅰ）據(jù)題意，每年投入的資金依次成首項為800萬元，公比為的等比數(shù)列，每年的投資回報收入依次成首項為400萬元，公比為的等比數(shù)列．
所以，．
（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過n年的總投入為S_n萬元，總收入為T_n萬元，則，．
由T_n-S_n＞0，得＞0，即．
設(shè)，代入上式整理得，5x²-7x+2＞0，解得或x＞1（舍去）．
當(dāng)n=4時，=；當(dāng)n=5時，=．
因為是減函數(shù)，所以當(dāng)n≥5時，有成立，從而T_n-S_n＞0成立．
答：從2014年開始，該投資公司前幾年的投資回報總收入將超過總投入．
點評：本題主要考查了數(shù)列的實際應(yīng)用，涉及了等比數(shù)列的通項公式，求和公式．綜合性很強．