Question

8．已知α，β，γ是某三角形的三個(gè)內(nèi)角，給出下列四組數(shù)據(jù)：
①sinα，sinβ，sinγ；②sin²α，sin²β，sin²γ；③${cos^2}\frac{α}{2}，{cos^2}\frac{β}{2}，{cos^2}\frac{γ}{2}$；④$tan\frac{α}{2}，tan\frac{β}{2}，tan\frac{γ}{2}$
分別以每組數(shù)據(jù)作為三條線段的長(zhǎng)，其中一定能構(gòu)成三角形的有（　�。�

• A． 1組
• B． 2組
• C． 3組
• D． 4組

Answer 1

分析 設(shè)α，β，γ的對(duì)邊分別為a，b，c，不妨令α≤β≤γ，則a≤b≤c，則a+b＞c，分別判斷兩個(gè)較小的邊與最大邊的差是否一定大于0，可得答案．

解答 解：∵α，β，γ是某三角形的三個(gè)內(nèi)角，
設(shè)α，β，γ的對(duì)邊分別為a，b，c，
不妨令α≤β≤γ，則a≤b≤c，則a+b＞c．
則①中，sinα=$\frac{a}{2R}$，sinβ=$\frac{2R}$，sinγ=$\frac{c}{2R}$；
則$\frac{a}{2R}$+$\frac{2R}$＞$\frac{c}{2R}$，故一定能構(gòu)成三角形；
②中，sin²α=$\frac{{a}^{2}}{{4r}^{2}}$，sin²β=$\frac{^{2}}{{4R}^{2}}$，sin²γ=$\frac{{c}^{2}}{{4R}^{2}}$，
由$\frac{{a}^{2}}{{4r}^{2}}$+$\frac{^{2}}{{4R}^{2}}$＞$\frac{{c}^{2}}{{4R}^{2}}$僅在a²+b²-c²＞0，即cosγ＞0時(shí)成立，故不一定能構(gòu)成三角形．
③中，${cos}^{2}\frac{α}{2}$+${cos}^{2}\frac{β}{2}$-${cos}^{2}\frac{γ}{2}$=$\frac{cosα+cosβ-cosγ}{2}$+$\frac{1}{2}$＞0恒成立．
恒成立，故一定能構(gòu)成三角形，故③正確．
④中，當(dāng)α=β=30°時(shí)γ=120°，tan$\frac{α}{2}$+tan$\frac{β}{2}$-tan$\frac{γ}{2}$＜0，故不一定能構(gòu)成三角形，
故①③正確，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了構(gòu)成三角形的條件，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是三角函數(shù)較為綜合的考查，難度較大，屬于難題