Question

一束光線過點(diǎn)M(1-2

2

，-2

2

)射到x軸上，再反射到圓C：（x-1）²+（y+4）²=8上，
（1）當(dāng)反射光線經(jīng)過圓心時(shí)，求反射光線所在的直線方程的一般式；
（2）求反射點(diǎn)的橫坐標(biāo)的變化范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：M點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，由反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過與圓的圓心（1，-4）可得直線的方程．
（2）當(dāng)反射光線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為：kx-y-k+2

2

k+2

2

=0，當(dāng)反射光線與圓相切時(shí)為反射點(diǎn)的最大范圍，由點(diǎn)到直線的距離公式可得k的值，再檢驗(yàn)斜率不存在時(shí)直線也與圓相切，進(jìn)而得到答案．

解答：解：（1）由題意可得：M點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M′(1-2

2

，2

2

)，
因?yàn)榉瓷涔饩�的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過M′(1-2

2

，2

2

)與圓的圓心（1，-4），
所以反射光線所在的直線的方程為：y+4=

2 2 +4

-2 2

(x-1)，整理可得直線的一般式方程為：(1+

2

)x+y+3-

2

=0．
（2）當(dāng)反射光線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為：y-2

2

=k(x-1+2

2

)，
整理可得：kx-y-k+2

2

k+2

2

=0．
由題意可得：當(dāng)反射光線與圓相切時(shí)為反射點(diǎn)的最大范圍，
所以有圓心到反射光線的距離等于半徑，即d=2

2

=

|k+4-k+2 2 k+2 2 |

1+k2

，
解得：k=-1，此時(shí)反射光線的方程為x+y-1=0，
所以反射點(diǎn)為（1，0）．
當(dāng)斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)也與圓相切，則反射點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是[1-2

2

，1]．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系，以及直線方程的一般式與兩點(diǎn)式，考查點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí)點(diǎn)，此題綜合性較強(qiáng)屬于中檔題．