Question

8．等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ-1，則${a}_{1}^{2}$+${a}_{2}^{2}$+${a}_{3}^{2}$+…+${a}_{n}^{2}$=$\frac{1}{3}（{4}^{n}-1）$．

Answer 1

分析 等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ-1，可得a₁=S₁=1，a₂=2．a(chǎn)_n=2^n-1.${a}_{n}^{2}$=4^n-1．再利用等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：∵等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ-1，
∴a₁=S₁=1；a₁+a₂=2²-1=3，解得a₂=2．
∴公比q=2．
∴a_n=2^n-1．
∴${a}_{n}^{2}$=4^n-1．
則${a}_{1}^{2}$+${a}_{2}^{2}$+${a}_{3}^{2}$+…+${a}_{n}^{2}$=$\frac{{4}^{n}-1}{4-1}$=$\frac{1}{3}（{4}^{n}-1）$．
故答案為：$\frac{1}{3}（{4}^{n}-1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．