Question

20．△ABC中，AC=BC=1，AC⊥BC，已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，則下列結論正確的是（　�。�

• A． |$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=1
• B． （$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow$
• C． （$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=$\frac{5}{2}$
• D． （$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$=-2

Answer 1

分析 由題意可得AB=$\sqrt{2}$，即有|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=1，且$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=$\sqrt{2}$×1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，求得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1-2=-1，|$\overrightarrow$|=1，再由向量的平方即為模的平方，計算可得A，B，C不正確，D正確．

解答 解：由AC=BC=1，AC⊥BC，可得AB=$\sqrt{2}$，
即有|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=1，
且$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=$\sqrt{2}$×1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，
即$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1，可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1-2=-1，
由|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=1，可得$\overrightarrow{a}$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\overrightarrow$²=1，
可得$\overrightarrow$²=1-2+2=1，即|$\overrightarrow$|=1，
則|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{2-2×（-1）+1}$=$\sqrt{5}$，
則A不正確；
（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-$\overrightarrow$²=-1-1=-2，則B不正確；
（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow$²=2-1=1，則C不正確；
（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-$\overrightarrow$²=-1-1=-2，則D正確．
故選：D．

點評 本題考查向量的數量積的定義和性質，主要是向量的平方即為模的平方，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．