【題目】已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足a1=2,anan+1=2(Sn+1) ().

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;

(2)若數(shù)列{bn}滿足b1=1,(),求{bn}的前n項和Tn

(3)若數(shù)列{cn}滿足,(),試問是否存在正整數(shù)p,q(其中1 < p < q),使c1,cp,cq成等比數(shù)列?若存在,求出所有滿足條件的數(shù)組(p,q);若不存在,說明理由.

【答案】(1);(2);(3)見解析.

【解析】試題分析:(1)由anan+1=2(Sn+1),可得an+1an+2=2(Sn+1+1),兩式相減可得an+2an=2,討論奇偶可得;(2),,利用裂項相消法可得結果;(3)假設存在正整數(shù)數(shù)對(pq),使c1,cp,cq成等比數(shù)列,可得合題意,再證明p3時不合題意即可.

試題解析:(1)由題意anan+1=2(Sn+1), ①

an+1an+2=2(Sn+1+1), ②

由①②得到:an+1(an+2an)2an+1, ③

因為an+1>0,則an+2an=2, ④

a1=2,由④可知a2=3,由④可知

因此,

(2)當n=1時

時,

;

(3)假設存在正整數(shù)數(shù)對(pq),使c1,cpcq成等比數(shù)列,即c1cqcp2,

則lgc1lgcq=2 lgc p成等差數(shù)列,于是,(*).

時, ,此時,;

可知(pq)=(2,3) 恰為方程(*)的一組解.

又當p3時,<0,故數(shù)列{}(p≥3)為遞減數(shù)列.

于是=<0,所以此時方程(*)無正整數(shù)解.

綜上,存在惟一正整數(shù)數(shù)對(p,q)=(2,3),使c1,cpcq成等比數(shù)列.

【方法點晴】裂項相消法是最難把握的求和方法之一,其原因是有時很難找到裂項的方向,突破這一難點的方法是根據(jù)式子的結構特點,掌握一些常見的裂項技巧:①;②

;③

;此外,需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題,導致計算結果錯誤.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù))與函數(shù)有公共切線.

(Ⅰ)求的取值范圍;

(Ⅱ)若不等式對于的一切值恒成立,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】為了得到函數(shù)y=sin2x的圖象,只需把函數(shù)y=sin(2x﹣ )的圖象(
A.向左平移 個單位長度
B.向右平移 個單位長度
C.向左平移 個單位長度
D.向右平移 個單位長度

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】我國是世界上嚴重缺水的國家,某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水,計劃調整居民生活用水收費方案,擬確定一個合理的月用水量標準(噸),一位居民的月用水量不超過的部分按平價收費,超過的部分按議價收費.為了了解居民用水情況,通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照, , 分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

(Ⅰ)求直方圖中的值;

(Ⅱ)若將頻率視為概率,從該城市居民中隨機抽取3人,記這3人中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學期望.

(Ⅲ)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準(噸),估計的值(精確到0.01),并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】甲罐中有4個紅球,3個白球和3個黑球;乙罐中有5個紅球,3個白球和2個黑球.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐,分別以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球,白球和黑球的事件;再從乙罐中隨機取出一球,以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件,下列的結論:
①P(B)= ;
②P(B|A1)= ;
③事件B與事件A1不相互獨立;
④A1 , A2 , A3是兩兩互斥的事件;
⑤P(B)的值不能確定,因為它與A1 , A2 , A3中哪一個發(fā)生有關,
其中正確結論的序號為 . (把正確結論的序號都填上)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某休閑農莊有一塊長方形魚塘ABCD,AB=50米,BC=25 米,為了便于游客休閑散步,該農莊決定在魚塘內建三條如圖所示的觀光走廊OE、EF和OF,考慮到整體規(guī)劃,要求O是AB的中點,點E在邊BC上,點F在邊AD上,且∠EOF=90°.

(1)設∠BOE=α,試將△OEF的周長l表示成α的函數(shù)關系式,并求出此函數(shù)的定義域;
(2)經(jīng)核算,三條走廊每米建設費用均為4000元,試問如何設計才能使建設總費用最低并求出最低總費用.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】梯形ABCD頂點B、C在以AD為直徑的圓上,AD=2米,

(1)如圖1,若電熱絲由AB,BC,CD這三部分組成,在ABCD上每米可輻射1單位熱量,在BC上每米可輻射2單位熱量,請設計BC的長度,使得電熱絲輻射的總熱量最大,并求總熱量的最大值;

(2)如圖2,若電熱絲由弧和弦BC這三部分組成,在弧上每米可輻射1單位熱量,在弦BC上每米可輻射2單位熱量,請設計BC的長度,使得電熱絲輻射的總熱量最大.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】為了檢驗學習情況,某培訓機構于近期舉辦一場競賽活動,分別從甲、乙兩班各抽取10名學員的成績進行統(tǒng)計分析,其成績的莖葉圖如圖所示(單位:分),假設成績不低于90分者命名為“優(yōu)秀學員”.

(1)分別求甲、乙兩班學員成績的平均分(結果保留一位小數(shù));

(2)從甲班4名優(yōu)秀學員中抽取兩人,從乙班2名80分以下的學員中抽取一人,求三人平均分不低于90分的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】給定橢圓C: + =1(a>b>0),稱圓C1:x2+y2=a2+b2為橢圓C的“伴隨圓”.已知橢圓C的離心率為 ,且經(jīng)過點(0,1).
(1)求實數(shù)a,b的值;
(2)若過點P(0,m)(m>0)的直線l與橢圓C有且只有一個公共點,且l被橢圓C的伴隨圓C1所截得的弦長為2 ,求實數(shù)m的值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案