【題目】在四棱錐中，為等邊三角形，四邊形為矩形，為的中點，.

證明：平面平面.

設(shè)二面角的大小為，求的取值范圍.

【答案】證明見解析；.

【解析】

連接，根據(jù)題意可證出平面，，進而證出平面，即可證出平面平面；

建立空間直角坐標系，寫出平面的法向量為，平面的法向量為，進而利用公式寫出，進而得出結(jié)果.

解：證明：連接，因為為等邊三角形，為的中點，

所以，

又因為，，

所以平面，.

因為四邊形為矩形，所以，，

所以平面.

因為平面，所以平面平面.

以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

設(shè)，，

則，，，

由空間向量的坐標運算可得

，，.

設(shè)平面的法向量為，

則，代入可得

令，，，所以.

設(shè)平面的法向量為，

則，代入可得

令，，，所以.

二面角的大小為，由圖可知，二面角為銳二面角，

所以，

當趨于時，，則，

所以.

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（Ⅱ）求二面角的余弦值．

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（1）求證:平面；

（2）若求直線與平面所成角的正弦值.

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