Question

各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，對(duì)任意n∈N^*，有2S_n=2pa_n²+pa_n-p（p∈R）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n=

2

an+2 + an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）在已知數(shù)列遞推式中取n=1，結(jié)合a₁=1求得p=1，再代入數(shù)列遞推式，同時(shí)取n=n-1得另一遞推式，作差后可得an-an-1=

1

2

，即數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以

1

2

為公差的等差數(shù)列，由此求出等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）把等差數(shù)列的通項(xiàng)公式代入b_n=

2

an+2 + an

，分母有理化后裂項(xiàng)，然后利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵a₁=1，對(duì)任意的n∈N^*，有2S_n=2pa_n²+pa_n-p，
∴2a₁=2pa₁²+pa₁-p，
即2=2p+p-p，解得p=1．
2S_n=2a_n²+a_n-1，①
2S _n-1=2a_n-1 ²+a_n-1-1，（n≥2），②
①-②即得（a_n-a_n-1-

1

2

）（a_n+a_n-1）=0，
∵a_n+a_n-1≠0，∴a_n-a_n-1-

1

2

=0，即an-an-1=

1

2

．
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以

1

2

為公差的等差數(shù)列．
∴an=1+

1

2

(n-1)=

n+1

2

；
（2）b_n=

2

an+2 + an

=

2

n+3 2 + n+1 2

=

1

n+3 + n+1

=

1

2

(

n+3

-

n+1

)，
∴Tn=

1

2

[(

4

-

2

)+(

5

-

3

)+(

6

-

4

)+…+(

n+2

-

n

)+(

n+3

-

n+1

)]
=

1

2

(

n+3

+

n+2

-

3

-

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．