Question

【題目】現代研究表明，體脂率（體脂百分數）是衡量人體體重與健康程度的一個標準．為分析體脂率對人體總膽固醇的影響，從女性志愿者中隨機抽取12名志愿者測定其體脂率值及總膽固醇指標值（單位：mmol/L），得到的數據如表所示：

(1)利用表中的數據，是否可用線性回歸模型擬合與的關系？請用相關系數加以說明.（若，則線性相關程度很高，可用線性回歸模型擬合）

(2)求出與的線性回歸方程，并預測總膽固醇指標值為9.5時，對應的體脂率值為多少？（上述數據均要精確到0.1）

(3)醫(yī)學研究表明，人體總膽固醇指標值服從正態(tài)分布，若人體總膽固醇指標值在區(qū)間之外，說明人體總膽固醇異常，該志愿者需作進一步醫(yī)學觀察.現用樣本的作為的估計值，用樣本的標準差作為的估計值，從這12名女志愿者中隨機抽4人，記需作進一步醫(yī)學觀察的人數為，求的分布列和數學期望．

附：參考公式：相關系數，，．

參考數據：，，，

，．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

由相關系數公式直接計算可得；(2)先后求出，，和，可得線性回歸方程，將y=9.5代入回歸方程，可得x的值。(3)先由公式計算標準差作為的估計值，，那么根據區(qū)間，可知志愿者中膽固醇異常者的人數為2人，則需要進一步觀察，從12名志愿者中隨機抽4人，記需作進一步醫(yī)學觀察的人數為，可能為0，1，2，先分別求出對應概率，即可得的分布列進而求得數學期望．

(1) 相關系數

所以線性相關程度很高，可用線性回歸模型擬合.

(2) ，

又，

所以，所以回歸直線，

當時，

(3) ，所以，則，

所以在這12人中，有2人是膽固醇異常，需要進一步作醫(yī)學觀察的. 所以變量

,,

所以的分布列為

X	0	1	2
P

數學期望