Question

19．設F₁、F₂是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，P是C₁上一點，若|PF₁|+|PF₂|=6a，且△PF₁F₂最小內角的大小為30°，拋物線C₂：y²=12x的準線交雙曲線C₁所得的弦長為4$\sqrt{3}$，則雙曲線C₁的實軸長為（　�。�

• A． 6
• B． 2$\sqrt{6}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設|PF₁|＞|PF₂|，由已知條件求出|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，e=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$a，利用拋物線C₂：y²=12x的準線交雙曲線C₁所得的弦長為4$\sqrt{3}$，可得$\frac{9}{{a}^{2}}-\frac{12}{^{2}}$=1，由此能求出雙曲線C₁的實軸長．

解答 解：設|PF₁|＞|PF₂|，則|PF₁|-|PF₂|=2a，
又|PF₁|+|PF₂|=6a，解得|PF₁|=4a，|PF₂|=2a．
則∠PF₁F₂是△PF₁F₂的最小內角為30°，
∴|PF₂|²=|PF₁|²+|F₁F₂|²-2|PF₁|•|F₁F₂|cos30°，
∴（2a）²=（4a）²+（2c）²-2×4a×2c×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
同時除以a²，化簡e²-2$\sqrt{3}$e+3=0，
解得e=$\sqrt{3}$，∴b=$\sqrt{2}$a①
∵拋物線C₂：y²=12x的準線交雙曲線C₁所得的弦長為4$\sqrt{3}$，
∴$\frac{9}{{a}^{2}}-\frac{12}{^{2}}$=1②，
由①②可得2a=2$\sqrt{3}$，
故選D．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質，考查雙曲線C₁的實軸長的求法，考查三角形的余弦定理和運用，考查運算能力，屬于中檔題．