Question

8．設(shè)拋物線(xiàn)y²=2x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)M（$\sqrt{3}$，0）的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相交于C，|BF|=2，則△BCF和△ACF的面積之比為$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 利用三角形面積公式，可把△BCF與△ACF的面積之比轉(zhuǎn)化為BC長(zhǎng)與AC長(zhǎng)的比，再根據(jù)拋物線(xiàn)的焦半徑公式轉(zhuǎn)化為A，B到準(zhǔn)線(xiàn)的距離之比，借助|BF|=2求出B點(diǎn)坐標(biāo)，得到AB方程，代入拋物線(xiàn)方程，解出A點(diǎn)坐標(biāo)，就可求出BN與AE的長(zhǎng)度之比，得到所需問(wèn)題的解．

解答 解：∵拋物線(xiàn)方程為y²=2x，∴焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，0），
準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-$\frac{1}{2}$，
如圖，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
過(guò)A，B分別向拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足分別為E，N，
則|BF|=x₂+$\frac{1}{2}$=2，
∴x₂=$\frac{3}{2}$，
把x₂=$\frac{3}{2}$代入拋物線(xiàn)y²=2x，得，y₂=-$\sqrt{3}$，
∴直線(xiàn)AB過(guò)點(diǎn)M（$\sqrt{3}$，0）與（$\frac{3}{2}$，-$\sqrt{3}$）
方程為$\sqrt{3}$x+（$\frac{3}{2}$-$\sqrt{3}$）y-3=0，代入拋物線(xiàn)方程，解得，x₁=2
∴|AE|=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∵在△AEC中，BN∥AE，
∴|BC|：|AC|=|BN|：|AE|=2：$\frac{5}{2}$=$\frac{4}{5}$，
△BCF和△ACF的面積之比為：$\frac{1}{2}$|BC|•h：$\frac{1}{2}$|AC|•h=$\frac{4}{5}$
故答案為：$\frac{4}{5}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線(xiàn)的焦半徑公式，側(cè)重了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，以及計(jì)算能力