Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₅=30，a₁+a₃=8，n∈N^*．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）記b_n=2^a_n，求{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．

Answer 1

分析：（I）設(shè)公差為d，由題意列方程組，解出a₁，d，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ），可求得b_n，可判斷{b_n}是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式可得T_n．

解答：解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵S₅=30，∴

5a1+ 5×4 2 d=30 2a1+2d=8

，解得a₁=2，d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+（n-1）×2=2n；
（Ⅱ）由（Ⅰ），可知a_n=2n．
∵bn=2an，∴bn=4n，
又

bn+1

bn

=

4n+1

4n

=4（n∈N*），
∴{b_n}是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，
則T_n=b₁+b₂+…+b_n=4+4²+4³+…+4ⁿ=

4(1-4n)

1-4

=

4n+1

3

-

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題，考查數(shù)列求和，屬中檔題．