Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左，右焦點分別是F₁，F(xiàn)₂，離心率e=

2

2

，P為橢圓上任一點，且△PF₁F₂的最大面積為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)斜率為

2

2

的直線l交橢圓C于A，B兩點，且以AB為直徑的圓恒過原點O，求△AOB的面積．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得bc=1，e=

c

a

=

2

2

，a²=b²+c²，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=

2

2

x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立

y= 2 2 x+m x2 2 +y2=1

，得2x²+2

2

mx+2m2-2=0，由此利用韋達定理、圓的性質(zhì)、弦長公式、點到直線的距離公式能求出△AOB的面積．

解答： 解：（1）設(shè)P（x₀，y₀），△PF₁F₂的面積S=|y₀|c，又|y₀|≤b，
∴△PF₁F₂的最大面積為bc=1，
∵離心率e=

c

a

=

2

2

，又a²=b²+c²，
∴a=

2

，b=c=1，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）設(shè)直線l的方程為y=

2

2

x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立

y= 2 2 x+m x2 2 +y2=1

，得2x²+2

2

mx+2m2-2=0，
x1+x2=-

2

m，x1x2=m2-1，
y₁y₂=（

2

2

x1+m）（

2

2

x2+m）=

1

2

x1x2+

2

2

m(x1+x2)+m2，
∵以AB為直徑的圓恒過原點O，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

3

2

x1x2+

2

2

m(x1+x2)+m2=

3

2

(m2-1)=0，
∴m²=1，
∵原點O（0，0）到直線y=

2

2

x+m的距離為|m|，
∴S_△AOB=

1

2

|m||x1-x2|=

1

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

2

．
∴△AOB的面積為

2

2

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形的面積的求法，解題時要注意韋達定理、圓的性質(zhì)、弦長公式、點到直線的距離公式的合理運用．