Question

已知函數(shù)f（x）=

x

x2+1

，x∈[1，+∞）
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性并證明；
（2）解不等式f（x²-x）-f（2x+1）＜0．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）先判斷函數(shù)f（x）是定義域[1，+∞）上的減函數(shù)，再用定義來證明即可；
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性，把不等式f（x²-x）-f（2x+1）＜0化為等價的不等式組，求出解集即可．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

，
當x∈[1，+∞）時，x+

1

x

≥2，當且僅當x=1時取“=”；
∴

1

x+ 1 x

≤

1

2

，當且僅當x=1時f（x）取得最小值

1

2

；
∴f（x）在定義域[1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)；
證明如下；任取x₁、x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

x1

x12+1

-

x2

x22+1

=

x1(x22+1)-x2(x12+1)

(x12+1)(x22+1)

=

(x2-x1)(x1x2-1)

(x12+1)(x22+1)

，
∵1≤x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在定義域[1，+∞）上是減函數(shù)；
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）在定義域[1，+∞）上是減函數(shù)，
∴不等式f（x²-x）-f（2x+1）＜0可化為
f（x²-x）＜f（2x+1），
即

x2-x＞2x+1 x2-x≥1 2x+1≥1

；
解得

x＜ 3- 13 2 或x＞ 3+ 13 2 x≤ 1- 5 2 或x≥ 1+ 5 2 x≥0

，
即x＞

3+ 13

2

；
∴不等式的解集為{x|x＞

3+ 13

2

}．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明問題，也考查了利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式的應(yīng)用問題，是中檔題．