Question

對于函數(shù)①，②，③f（x）=cos（x+2）-cosx，
判斷如下兩個命題的真假：
命題甲：f（x）在區(qū)間（1，2）上是增函數(shù)；
命題乙：f（x）在區(qū)間（0，+∞）上恰有兩個零點x₁，x₂，且x₁x₂＜1．
能使命題甲、乙均為真的函數(shù)的序號是（ ）
A．①
B．②
C．①③
D．①②

Answer 1

【答案】分析：①函數(shù)可用導(dǎo)數(shù)求出在（1，2）上是增函數(shù)，②函數(shù)是|log2^x|與-的和函數(shù)，且兩者在區(qū)間（1，2）上均是增函數(shù)，知是增函數(shù)．③f（x）=0得cos（x+2）=cosx，在（0，+∞）上無數(shù)個零點．
解答：解：①f'（x）=4-，在區(qū)間（1，2）f'（x）＞0，f（x）在區(qū)間（1，2）上是增函數(shù)．使甲為真．f（x）的最小值是-1＜0當(dāng)x=時取得．又f（1）=0，∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上恰有兩個零點x₁＜；x₂=1．   x₁x₂=x₁＜1，使乙為真．
②在區(qū)間（1，2），|log2^x|=log2^x，是增函數(shù)．-也是增函數(shù)，兩者的和函數(shù)也是增函數(shù)．使甲為真．利用信息技術(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上恰有兩個零點x₁，x₂；0＜x₁＜
1＜x₂＜2．使乙為真．
③f（x）=0得cos（x+2）=cosx．x+2=2kπ±x．x=kπ-1，k∈Z，在區(qū)間（0，+∞）上有無數(shù)個零點．使乙為假．
故選D．
點評：要掌握好基本初等函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)零點個數(shù)的判定，用二分法求零點的近似值．