Question

（1）已知tanα=2，求2sin²α-3sinαcosα-2cos²α的值．
（2）已知-

π

2

＜x＜0，sinx+cosx=

1

5

，求

1

1+sinx

+

1

1+cosx

和sinx-cosx的值．

Answer 1

分析：（1）利用“1“的代換，把分母的“1”換為平方關(guān)系，利用齊次式同除cos²α，得到關(guān)于tanα的表達(dá)式，即可求解．
（2）通過已知條件求出sinxcosx，

1

1+sinx

+

1

1+cosx

同分后，整體代入求解即可；根據(jù)角的范圍，利用平方化簡，求出sinx-cosx的值．

解答：解：（1）∵tanα=2
∴原式=

2sin2α-3sinαcosα-2cos2α

sin2α+cos2α

=

2tan2α-3tanα-2

1+tan2α

=

8-6-2

1+4

=0
（2）∵sinx+cosx=

1

5

∴sinx•cosx=-

12

25

∴原式=

2+sinx+cosx

1+(sinx+cosx)+sinx•cosx

=

2+ 1 5

1+ 1 5 - 12 25

=

55

18

而(sinx-cosx)2=

49

25

∵-

π

2

＜x＜0∴sinx-cosx＜0∴sinx-cosx=-

7

5

點(diǎn)評：本題是基礎(chǔ)題，（1）是數(shù)學(xué)模型，固定格式的解題方法；（2）體現(xiàn)整體數(shù)學(xué)思想，根據(jù)角的范圍估計(jì)三角函數(shù)值的范圍，是三角函數(shù)的一個(gè)特色，是易錯(cuò)點(diǎn)，常考點(diǎn)．