Question

已知點(diǎn)A，B分別是射線l₁：y=x（x≥0），l₂：y=-x（x≥0）上的動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△OAB的面積為定值2．
（I）求線段AB中點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（II）過點(diǎn)N（0，2）作直線l，與曲線C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，與射線l₁，l₂分別交于點(diǎn)R，S，若點(diǎn)P，Q恰為線段RS的兩個(gè)三等分點(diǎn)，求此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）通過設(shè)A（x₁，x₁），B（x₂，-x₂），M（x，y），建立M與AB的關(guān)系，繼而轉(zhuǎn)化為x與y的關(guān)系，整理即可得到所以點(diǎn)M的軌跡方程．
（II）根據(jù)題意，因?yàn)閘斜率存在，故設(shè)出直線方程．根據(jù)x_P，x_Q＞0以及由于P，Q為RS的三等分點(diǎn)分別得出一個(gè)等式，最后通過兩個(gè)等式分別化簡(jiǎn)即可得出l的斜率．此時(shí)，直線方程即可得到．
解答：解：（I）由題可設(shè)A（x₁，x₁），B（x₂，-x₂），M（x，y），其中x₁＞0，x₂＞0．
則
∵△OAB的面積為定值2，
∴
（1）²-（2）²，消去x₁，x₂，
得：x²-y²=2．
由于x₁＞0，x₂＞0，
∴x＞0，
所以點(diǎn)M的軌跡方程為x²-y²=2（x＞0）．

（II）依題意，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+2．
由
消去y得：（1-k²）x²-4kx-6=0，
設(shè)點(diǎn)P、Q、R、S的橫坐標(biāo)分別是x_P、x_Q、x_R、x_P，
∴由x_P，x_Q＞0得
解之得：．
∴．
由消去y得：，
由消去y得：，
∴．
由于P，Q為RS的三等分點(diǎn)，
∴|x_R-x_S|=3|x_P-x_Q|．
解之得．
經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)P，Q恰為RS的三等分點(diǎn)，
故所求直線方程為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程，直線與圓的位置關(guān)系，以及軌跡方程的運(yùn)算．通過已知題意分別把條件化為等式然后進(jìn)行運(yùn)算，本題為難題