Question

已知點(diǎn)A，B分別是射線l₁：y=x（x≥0），l₂：y=-x（x≥0）上的動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△OAB的面積為定值2．
（I）求線段AB中點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（II）過點(diǎn)N（0，2）作直線l，與曲線C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，與射線l₁，l₂分別交于點(diǎn)R，S，試求出直線l的斜率的取值范圍，并證明：|PR|=|QS|．

Answer 1

分析：（1）設(shè)點(diǎn)M（x，y），由M是線段AB中點(diǎn)得

x= x1+x2 2 ，(1) y= x1-x2 2 ，(2)

又因?yàn)辄c(diǎn)A，B分別是射線l₁l₂上的動(dòng)點(diǎn)，且S_△OAB=x₁x₂=2所以點(diǎn)M的軌跡方程為x²-y²=2（x＞0）．
（Ⅱ）討論直線的斜率是否存在，存在時(shí)設(shè)直線l的方程為y=kx+2，由題得x_P，x_Q＞0，即整理得-

3

＜k＜-1，又xR+xS=

2k

1-k2

且PQ的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

xP+xQ

2

=

2k

1-k2

，所以
|PR|=|QS|

解答：解：（I）由題可設(shè)A（x₁，x₁），B（x₂，-x₂），M（x，y），其中x₁＞0，x₂＞0．
則

x= x1+x2 2 ，(1) y= x1-x2 2 ，(2)

∵△OAB的面積為定值2，
∴S△OAB=

1

2

|OA|•|OB|=

1

2

(

2

x1)(

2

x2)=x1x2=2．
（1）²-（2）²，消去x₁，x₂，得：x²-y²=2．
由于x₁＞0，x₂＞0，∴x＞0，所以點(diǎn)M的軌跡方程為x²-y²=2（x＞0）．
（II）依題意，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+2．
由

y=kx+2 x2-y2=2

消去y得：（1-k²）x²-4kx-6=0，
設(shè)點(diǎn)P、Q、R、S的橫坐標(biāo)分別是x_P、x_Q、x_R、x_P，
∴由x_P，x_Q＞0得

1-k2≠0 △=16k2+24(1-k2)＞0 xP+xQ= 4k 1-k2 ＞0 xPxQ= -6 1-k2 ＞0

解之得：-

3

＜k＜-1
由

y=kx+2 y=x

消去y得：xR=

2

1-k

，
由

y=kx+2 y=-x

消去y得：xS=

2

-1-k

∴xR+xS=

2k

1-k2

．又PQ的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

xP+xQ

2

=

2k

1-k2

所以RS的中點(diǎn)與PQ的中點(diǎn)重合，故|PR|=|QS|

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線軌跡方程以及弦的中點(diǎn)問題與直線和圓錐曲線的相交問題，它們是圓錐曲線的綜合問題也是高考�？純�(nèi)容．