Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx（a＜0）
（1）若當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為-3，求a的值；
（2）設(shè)g（x）=f（x）+f′（x）（f′（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)），若函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為-3，建立條件關(guān)系即可求a的值；
（2）求出函數(shù)g（x）的表達(dá)式，利用函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，得到g′（x）≥0恒成立，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）由f′(x)=a+

1

x

=

ax+1

x

可得函數(shù)f（x）在(0，-

1

a

)上單調(diào)遞增，在(-

1

a

，+∞)上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=-

1

a

時(shí)，f（x）取最大值，
①當(dāng)-

1

a

≤1，即a≤-1時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（1）=-3，解得a=-3；
②當(dāng)1＜-

1

a

≤e，即-1＜a≤-

1

e

時(shí)，f(x)max=f(-

1

a

)=-3，
解得a=-e²＜-1，與-1＜a≤-

1

e

矛盾，不合舍去；
③當(dāng)-

1

a

＞e，即a＞-

1

e

時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_max=f（e）=-3，解得a=-

4

e

＜-

1

e

，與a＞-

1

e

矛盾，不合舍去；
綜上得a=-3．
（2）解法一：∵g(x)=lnx+ax+

1

x

+a，
∴g′(x)=

1

x

+a-

1

x2

=-(

1

x

-

1

2

)2+a+

1

4

，
顯然，對(duì)于x∈（0，+∞），g'（x）≥0不可能恒成立，
∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）上不是單調(diào)遞增函數(shù)，
若函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，則g'（x）≤0對(duì)于x∈（0，+∞）恒成立，
∴[g′(x)]max=a+

1

4

≤0，解得a≤-

1

4

，
綜上得若函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，則a∈(-∞，-

1

4

]．
解法二：∵g(x)=lnx+ax+

1

x

+a
∴g′(x)=

1

x

+a-

1

x2

=

ax2+x-1

x2

，
令ax²+x-1=0------------（*）
方程（*）的根判別式△=1+4a，
當(dāng)△≤0，即a≤-

1

4

時(shí)，在（0，+∞）上恒有g(shù)'（x）≤0，
即當(dāng)a≤-

1

4

時(shí)，函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞減；
當(dāng)△＞0，即a＞-

1

4

時(shí)，方程（*）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：x1=

-1+ 1+4a

2a

，x2=

-1- 1+4a

2a

，
∴g′(x)=

a

x2

(x-x1)(x-x2)，
當(dāng)x₁＜x＜x₂時(shí)g'（x）＞0，當(dāng)x＞x₂或0＜x＜x₁時(shí)，g'（x）＜0，
即函數(shù)g（x）在（x₁，x₂）單調(diào)遞增，在（0，x₁）或（x₂，+∞）上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）上不單調(diào)，
綜上得若函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，則a∈(-∞，-

1

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)公式求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．