記為不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如，，，。設(shè)為正整數(shù)，數(shù)列滿(mǎn)足，，現(xiàn)有下列命題：

①當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前3項(xiàng)依次為5,3,2；

②對(duì)數(shù)列都存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)總有；

③當(dāng)時(shí)，；

④對(duì)某個(gè)正整數(shù)，若，則。

其中的真命題有____________。（寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)

 

【答案】

①③④

【解析】按照給出的定義對(duì)四個(gè)命題結(jié)合數(shù)列的知識(shí)逐一進(jìn)行判斷真假，①列舉即可；②需舉反例；③可用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；④可由歸納推理判斷其正誤

①當(dāng)a=5時(shí)，x1=5，按照定義可知成立，②當(dāng)a=8時(shí)，x1=8，∴此數(shù)列從第三項(xiàng)開(kāi)始為3，2，3，2，3，2…為擺動(dòng)數(shù)列，故②錯(cuò)誤；

 

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設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列的公比為q，且，表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)（如）,記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為.

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）若對(duì)于任意不超過(guò)的正整數(shù)n，都有，證明：.

（Ⅲ）證明：（）的充分必要條件為.

 

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設(shè)為實(shí)數(shù)，為不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，記，則的取值范圍為，現(xiàn)定義無(wú)窮數(shù)列如下：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的自然數(shù)都有，則實(shí)數(shù)的值為            ．

 

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設(shè)為實(shí)數(shù)，為不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，記，則的取值范圍為，現(xiàn)定義無(wú)窮數(shù)列如下：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．如果，則        ．

 

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記為不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如，，，。設(shè)為正整數(shù)，數(shù)列滿(mǎn)足，，現(xiàn)有下列命題：

①當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前3項(xiàng)依次為5,3,2；

②對(duì)數(shù)列都存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)總有；

③當(dāng)時(shí)，；

④對(duì)某個(gè)正整數(shù)，若，則。

其中的真命題有____________。（寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)）

 

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