Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=2

2

，CD=

2

，BC=2．將ABCD（及其內(nèi)部）繞AB所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成一個(gè)幾何體．
（1）求該幾何體的體積V；
（2）設(shè)直角梯形ABCD繞底邊AB所在的直線旋轉(zhuǎn)角θ（∠CBC′=θ∈（0，π））至ABC′D′，若AD′⊥AD，求角θ的值．

Answer 1

分析：（1）由圓錐及圓柱的幾何特征可得，該幾何體由兩個(gè)底面相待的圓錐和圓柱組合而成，其中圓柱和圓錐的高均為

2

，代入圓柱和圓錐的體積公式，即可得到答案．
（2）若AD′⊥AD，則D′D=

2

AD，由余弦定理，結(jié)合BC=2，我們易求出角θ的值．

解答：解：（1）如圖，作DE⊥AB，則由已知，得DE=2，AE=AB-EB=

2

，．（2分）
所以，V=

1

3

π×22×

2

+π×22×

2

=

16 2

3

π（4分）
（2）連接DD′，CC′，有AD=AD′=

6

，DD^'2=CC^'2=8-8cosθ，．（3分）
由題意，得DD^'2=AD^'2+AD²，（2分）
即8-8cosθ=12（2分）cosθ=-

1

2

，θ=

2

3

π(或120°)．（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓柱與圓錐的體積及余弦定理，（1）中熟練掌握?qǐng)A柱和圓錐的體積公式是關(guān)鍵，（2）中將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題是解答立體幾何常用的技巧．