Question

如圖1，直角梯形中，,，． 交于點，點,分別在線段,上，且. 將圖1中的沿翻折，使平面⊥平面（如圖2所示），連結(jié)、，、.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）當(dāng)三棱錐的體積最大時，求直線與平面所成角的正弦值．

            

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，，

又交于點.

∴四邊形是邊長為2的正方形                 ………………………1分

∴，.

又∵平面

平面

∴                              ………………………3分

∵，∴                   ……………………4分

又

∴                                ………………………5分

∵

∴平面                          ………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

以為原點，的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.                                                       ………………………7分

則，，，  

設(shè)，則（）

∵，∴                         …………………8分

∴

                   ………………………9分

∵，∴時，三棱錐體積最大，此時，為中點.

∵，∴也是的中點，∴，.…10分

設(shè)是面的法向量.

則

令，得                         ………………………11分

設(shè)與面所成角為

則

∴與平面所成角的正弦值為.          ………………………13分