Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)不可能存在兩個(gè)零點(diǎn).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，條件下，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值.

（Ⅱ）令，求得兩個(gè)根，對(duì)分類討論，分別研究函數(shù)的單調(diào)性與極值的取值，通過判斷即可證明結(jié)論.

詳解：（Ⅰ）解：求導(dǎo)，得，

因?yàn)?/span>，所以，

所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)；

故當(dāng)時(shí)，存在極小值，不存在極大值.

（Ⅱ）證明：解方程得

當(dāng)即時(shí)，

隨著的變化，與的變化情況如下表：

		1
	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

又因?yàn)?/span>，

所以函數(shù)至多在區(qū)間存在一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)，即時(shí)，

因?yàn)?/span>（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），

所以在單調(diào)遞減，

所以函數(shù)至多存在一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)，即時(shí)，

隨著的變化，與的變化情況如下表：

				1
	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

又因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)時(shí)，，

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)不可能存在兩個(gè)零點(diǎn).