證明不等式：如果x是實(shí)數(shù)，且x＞-1，x≠0，n為大于1的自然數(shù)，那么有：
1+x
)n＞1+nx．
分析：用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，在證明n=k+1成立時(shí)，用到放縮法得到（1+x）k（1+x）＞（1+kx）（1+x），是證明的關(guān)鍵．
解答：證明：①當(dāng)n=2時(shí)，左邊=（1+x）2=1+2x+x2，
∵x≠0，∴1+2x+x2＞1+2x=右邊，
∴n=2時(shí)不等式成立
②假設(shè)n=k（k≥2）時(shí)，不等式成立，
即（1+x）k＞1+kx，
當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)閤＞-1，所以1+x＞0，
左邊=（1+x）k+1=（1+x）k（1+x）＞（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x，
而右邊=1+（k+1）x，
所以左邊＞右邊
這就是說，原不等式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立．
根據(jù)①和②，原不等式對任何不小于2的自然數(shù)n都成立．
故
1+x
)n＞1+nx．
點(diǎn)評：本題考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì) 解答，注意放縮法的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利（Bernoulli）不等式：如果x是實(shí)數(shù)，且x＞-1，x≠0，n為大于1的自然數(shù)，那么有（1+x）n＞1+nx．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（考生注意：請?jiān)谙铝腥}中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評閱記分．）
A．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-4|．則不等式f（x）＞2的解集為
{x|x＜-7或x＞
5
3
}
{x|x＜-7或x＞
5
3
}
；
B．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）曲線C：
x=-2+2cosα
y=2sinα
（α為參數(shù)），若以點(diǎn)O（0，0）為極點(diǎn)，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則該曲線的極坐標(biāo)方程是
ρ=-4cosθ
ρ=-4cosθ
．

C．（幾何證明選講選做題） 如圖，⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點(diǎn)P，E為⊙O上一點(diǎn)，弧AE=弧AC，DE交AB于F，且AB=2BP=4，則PF=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（考生注意：請?jiān)谙铝腥}中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分）
A．（不等式選講選做題）設(shè)函數(shù)f（x）=|x-a|-2，若不等式|f（x）|＜1的解集為（-2，0）∪（2，4），則實(shí)數(shù)a=
1
1
．
B．（幾何證明選講選做題）如右圖，已知PB是圓O的切線，A是切點(diǎn)，D是弧AC上一點(diǎn)，若∠BAC=70°，則∠ADC=
110°
110°
．
C．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+
π
6
）=2，則極點(diǎn)在直線l上的射影的極坐標(biāo)是
（2，
π
3
）
（2，
π
3
）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利（Bernoulli）不等式：如果x是實(shí)數(shù)，且x＞-1，x≠0，n為大于1的自然數(shù)，那么有（1+x）n＞1+nx．

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