【題目】在如圖所示的多面體中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC.BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G為BC的中點(diǎn).
(1)求證:AB∥平面DEG;
(2)求證:BD⊥EG;
(3)求二面角C﹣DF﹣E的正弦值.
【答案】
(1)證明:∵AD∥EF,EF∥BC,∴AD∥BC,
∵BC=2AD,G為BC的中點(diǎn),∴AD∥BG,且AD=BG,∴四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥DG
因?yàn)锳B不在平面DEG中,DG在平面DEG內(nèi),∴AB∥平面DEG
(2)證明:∵EF⊥平面AEB,AE平面AEB,BE平面AEB,
∴EF⊥AE,EF⊥BE,∵AE⊥EB,∴EB、EF、EA兩兩垂直.
以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn),EB、EF、EA所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
由已知得:A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,2,2),F(xiàn)(0,3,0),G(2,2,0).
∵ ,∴
∴BD⊥EG.
(3)解:由已知得 是平面EFDA的法向量,設(shè)平面DCF的法向量為
∵ ,∴ ,令z=1,得x=﹣1,y=2,即 .
設(shè)二面角C﹣DF﹣E的大小為θ,
則 ,∴
∴二面角C﹣DF﹣E的正弦值為 .
【解析】(1)要證AB∥平面DEG,可在平面DEG中找到一條直線與AB平行,根據(jù)題目給出的條件,能夠證得AB∥DG;(2)根據(jù)題目條件先證明EB、EA、EF兩兩相互垂直,然后以E為原點(diǎn),以EB、EF、EA所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,運(yùn)用向量數(shù)量積等于0 ,從而證明BD⊥EG;(3)在(2)的基礎(chǔ)上,求出二面角的兩個(gè)半平面的法向量,利用法向量求二面角的平面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱錐A﹣BCD中,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=CD=4,AC=4 ,CD=4 ,∠ACB=45°,E,F(xiàn)分別為MN的中點(diǎn).
(1)求證:EF∥平面ABD;
(2)求二面角E﹣BF﹣C的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)命題p:實(shí)數(shù)x滿足x2﹣4ax+3a2<0,其中a>0,命題q:實(shí)數(shù)x滿足 . (Ⅰ)若a=1,且p∧q為真,求實(shí)數(shù)x的取值范圍;
(Ⅱ)若¬p是¬q的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】己知直線2x﹣y﹣4=0與直線x﹣2y+1=0交于點(diǎn)p.
(1)求過點(diǎn)p且垂直于直線3x+4y﹣15=0的直線l1的方程;(結(jié)果寫成直線方程的一般式)
(2)求過點(diǎn)P并且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線l2方程(結(jié)果寫成直線方程的一般式)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓心為C的圓經(jīng)過O(0,0))和A(4,0)兩點(diǎn),線段OA的垂直平分線和圓C交于M,N兩點(diǎn),且|MN|=2
(1)求圓C的方程
(2)設(shè)點(diǎn)P在圓C上,試問使△POA的面積等于2的點(diǎn)P共有幾個(gè)?證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式﹣x2+bx+c<0的解集是{x|x<﹣3或x>2},則關(guān)于x的不等式cx2﹣bx﹣1>0的解集是( )
A.(﹣ , )
B.(﹣2,3)
C.(﹣∞,﹣ )∪( ,+∞)
D.(﹣∞,﹣2)∪(3,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , S3=﹣15,且a1+1,a2+1,a4+1成等比數(shù)列,公比不為1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn= ,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn .
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【題目】已知橢圓C的焦點(diǎn)分別為F1(﹣2 ,0)和F2(2 ,0),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,設(shè)直線y=x+2交橢圓C于A、B兩點(diǎn).求:線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某網(wǎng)店經(jīng)營的一種商品進(jìn)價(jià)是每件10元,根據(jù)一周的銷售數(shù)據(jù)得出周銷量P(件)與單價(jià)x(元)之間的關(guān)系如圖折線所示,該網(wǎng)店與這種商品有關(guān)的周開支均為25元.
(I)根據(jù)周銷量圖寫出周銷量P(件)與單價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)寫出周利潤(rùn)y(元)與單價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式;當(dāng)該商品的銷售價(jià)格為多少元時(shí),周利潤(rùn)最大?并求出最大周利潤(rùn).
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