【題目】設(shè)命題p:實(shí)數(shù)x滿足x2﹣4ax+3a2<0,其中a>0,命題q:實(shí)數(shù)x滿足 . (Ⅰ)若a=1,且p∧q為真,求實(shí)數(shù)x的取值范圍;
(Ⅱ)若¬p是¬q的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)a=1時(shí),命題p:x2﹣4x+3<01<x<3 命題q: 2<x≤3,
p∧q為真,即p和q均為真,故實(shí)數(shù)x的取值范圍是2<x<3
(Ⅱ)﹁p是﹁q的充分不必要條件q是p的充分不必要條件,即qp,反之不成立.
即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集.
由(1)知命題q:2<x≤3,
命題p:實(shí)數(shù)x滿足x2﹣4ax+3a2<0(x﹣a)(x﹣3a)<0
由題意a>0,所以命題p:a<x<3a,
所以 ,所以1<a≤2
【解析】(Ⅰ)p∧q為真,即p和q均為真,分別解出p和q中的不等式,求交集即可;(Ⅱ)﹁p是﹁q的充分不必要條件q是p的充分不必要條件,即qp,反之不成立. 即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集.
【考點(diǎn)精析】掌握命題的真假判斷與應(yīng)用是解答本題的根本,需要知道兩個(gè)命題互為逆否命題,它們有相同的真假性;兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題,它們的真假性沒(méi)有關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某種零件按質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分為1,2,3,4,5五個(gè)等級(jí),現(xiàn)從批該零件中隨機(jī)抽取20個(gè),對(duì)其等級(jí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得到頻率分布表如下:
等級(jí) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
頻率 | 0.05 | m | 0.15 | 0.35 | n |
(1)在抽取的20個(gè)零件中,等級(jí)為5的恰有2個(gè),求m,n的值;
(2)在(1)的條件下,從等級(jí)為3和5的所有零件中,任意抽取2個(gè),求抽取的2個(gè)零件等級(jí)不相同的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)()在處的切線與軸平行.
(1)討論在上的單調(diào)性;
(2)設(shè), ,證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1所示,在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中,∠DAB=60°,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊CD,CB的中點(diǎn),EF∩AC=O,沿EF將△CEF翻折到△PEF,連接PA,PB,PD,得到如圖2所示五棱錐P﹣ABFED,且AP= ,
(1)求證:BD⊥平面POA;
(2)求二面角B﹣AP﹣O的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知集合A={x|x<﹣2或x>0},B={x|( )x≥3} (Ⅰ)求A∪B
(Ⅱ)若集合C={x|a<x≤a+1},且A∩C=C,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+ax(a>0)在[﹣1,2]上的最大值為8,函數(shù)g(x)是h(x)=ex的反函數(shù).
(1)求函數(shù)g(f(x))的單調(diào)區(qū)間;
(2)求證:函數(shù)y=f(x)h(x)﹣ (x>0)恰有一個(gè)零點(diǎn)x0 , 且g(x0)<x02h(x0)﹣1 (參考數(shù)據(jù):e=2.71828…,ln2≈0.693).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校舉行“青少年禁毒”知識(shí)競(jìng)賽網(wǎng)上答題,高二年級(jí)共有500名學(xué)生參加了這次競(jìng)賽.為了解本次競(jìng)賽成績(jī)情況,從中抽取了100名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).請(qǐng)你解答下列問(wèn)題:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
[60,70) | 10 | 0.1 |
[70,80) | 22 | 0.22 |
[80,90) | a | 0.38 |
[90,100] | 30 | c |
合計(jì) | 100 | d |
(1)根據(jù)下面的頻率分布表和頻率分布直方圖,求出a+d和b+c的值;
(2)若成績(jī)不低于90分的學(xué)生就能獲獎(jiǎng),問(wèn)所有參賽學(xué)生中獲獎(jiǎng)的學(xué)生約為多少人?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在如圖所示的多面體中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC.BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G為BC的中點(diǎn).
(1)求證:AB∥平面DEG;
(2)求證:BD⊥EG;
(3)求二面角C﹣DF﹣E的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n和為Sn , 且 是 與(an+1)2的等比中項(xiàng).
(1)求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列;
(2)若 ,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n , 求Tn .
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