若無窮等差數(shù)列{an}中,a1=1,公差為d,前n項和為Sn,其中
S2n
Sn
=c
(c為常數(shù))
(1)求d的值;
(2)若d>0,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,且bn=
2an
,若對于任意的正整數(shù)n總有
TnTn+2
Tn+12
≥m
恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)等差數(shù)列的前n和公式把已知條件整理可得可得整理可得
4+(4n-2)d
2+(n-1)d
= C
,根據(jù)等式與n無關(guān)的常數(shù)可求d的值
(2)若d>0,由(1)可得d=2,a1=1,先求an=1+(n-1)×2=2n-1,代入求bn,Tn
TnTn+2
Tn+12
=
(2n-1)(2n+2-1)
(2n+1- 1)2
=
4•(2n)2-5•2n+1
4 •(2n)2-4•2n+1
=1-
2n
(2•2n-1)2

總有
TnTn+2
Tn+12
≥m
恒成立,轉(zhuǎn)化為求①的最小值,使得m≤①式的最小值即可
解答:解:(1)根據(jù)等差數(shù)列的前n和公式可得,
S2n
Sn
=
2n+
2n(2n-1)
2
d
n+
n(n-1)
2
d
=C

 整理可得
4+(4n-2)d
2+(n-1)d
= C

當(dāng)d=0時符合題意
當(dāng)d≠0時,進一步整理可得( 4-C)dn=2C-Cd-4+2d與n無關(guān),可得C=4,d=2
d=0,或d=2
(2)(2)若d>0,由(1)可得d=2,a1=1,由等差數(shù)列的通項公式可得an=1+(n-1)×2=2n-1
bn=
22n-1
=
2
2n-1
是以
2
為首項,以2為公比的等比數(shù)列

Tn=
2
(1-2n)
1-2
=
2
(2n-1)

TnTn+2
Tn+12
=
(2n-1)(2n+2-1)
(2n+1- 1)2
=
4•(2n)2-5•2n+1
4 •(2n)2-4•2n+1
=1-
2n
(2•2n-1)2

當(dāng)n=1時式子有最小值
7
9

總有
TnTn+2
Tn+12
≥m
恒成立,則m
7
9
m≤
7
9
點評:本題綜合考查了等差數(shù)列的求和公式、等差及等比數(shù)列的通項公式的求解、等比數(shù)列的求和公式、不等式的恒成立問題,轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用.
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(1)若a1,a3,a5成等比數(shù)列,求d的值;
(2)在a1=1,d=3 的無窮等差數(shù)列{an}中,是否存在無窮子數(shù)列{bn},使得數(shù)列(bn)為等比數(shù)列?若存在,請給出數(shù)列{bn}的通項公式并證明;若不存在,說明理由;
(3)他在研究過程中猜想了一個命題:“對于首項為正整數(shù)a,公比為正整數(shù)q(q>1)的無窮等比數(shù)列{cn},總可以找到一個子數(shù)列{bn},使得{dn}構(gòu)成等差數(shù)列”.于是,他在數(shù)列{cn}中任取三項ck,cm,cn(k<m<n),由ck+cn與2cm的大小關(guān)系去判斷該命題是否正確.他將得到什么結(jié)論?

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[  ]

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(1)求d的值;
(2)若d>0,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,且,若對于任意的正整數(shù)n總有恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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