Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明：1²-2²+3²-4²+…+（-1）^-1•n²=（-1）^n-1•

n(n+1)

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：證明題

分析：用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的步驟是：第一步，驗(yàn)證當(dāng)n=n₀時(shí)命題成立，第二步假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，那么再證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．關(guān)鍵是第二步中要充分用上歸納假設(shè)的結(jié)論．

解答： 證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1²-2²+3²-4²+…+（-1）^n-1•n²=（-1）^n-1•

n(n+1)

2

．
（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=（-1）⁰

1(1+1)

2

=1，
故左邊=右邊，
∴當(dāng)n=1時(shí)，等式成立；（3分）
（2）假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即 1²-2²+3²-4²+…+（-1）^k-1•k²=（-1）^k-1•

k(k+1)

2

．（6分）
那么1²-2²+3²-4²+…+（-1）^k-1•k²+（-1）^k•（k+1）²
=（-1）^k-1•

k(k+1)

2

+（-1）^k•（k+1）²
=（-1）^k

k+1

2

（-k+2k+2）
=（-1）^（k+1）-1

(k+1)[(k+1)+1]

2

即當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立． （10分）
根據(jù)（1）和（2）可知等式對(duì)任何n∈N₊都成立． （12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法的思想，應(yīng)用中要注意的是用上歸納假設(shè)的結(jié)論，否則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤．屬于中檔題．